לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב בהצלחה!"

Αθάμας Κοσμόπουλος
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 הטכניון מכון טכנולוגי לישראל הפקולטה למדעי המחשב 24/10/2007 מרצה: פרופ אורנה גרימברג מתרגלים: גבי סקלוסוב,קרן צנזור,רותם אושמן,אורלי יהלום לוגיקה ותורת הקבוצות אביבתשס ז מבחןסופי מועדב הנחיות: משךהבחינה: שלוששעות. הבחינהללאחומרעזר(למעטדפיהעזר,המחולקיםיחדעםטופסהבחינה). תשובהללאנימוקאינהמזכהבנקודות. מותר להסתמך על טענות שהוכחו בהרצאות/תירגולים/תרגילי הבית בתנאי שמנסחים אותן במדויק. במידה שאתם מסתמכים בתשובותיכם על סעיף קודם של הוכח/הפרך, טעות בסעיף עליו מסתמכים תגרור טעות בסעיף החדש. ניתן לענות לא יודע/ת על כל סעיף בנפרד. סעיף שהתשובה היחידה בו תהיה לא יודע/ת יזכה ב 20% מהנקודות. בהצלחה! שאלה ציון שאלה 1 24 שאלה 2 24 שאלה 3 28 שאלה 4 24 סה כ 100

2 1. (24 נקודות)שאלה זו עוסקת בתורת הקבוצות. נאמרשקבוצהשלקבוצותA היאטרנזיטיביתאםלכלA B מתקייםשלכל.C A,C B הוכיחו/הפריכו את הסעיפים הבאים: (א) (6 נקודות)אםA טרנזיטיביתאזA ריקה. (ב) (6 נקודות)אםA טרנזיטיבית,ו A B אז B טרנזיטיבית. (ג) (6 נקודות)אםA טרנזיטיביתאזA טרנזיטיבית. (ד) (6 נקודות)אםA טרנזיטיביתאז{ A } A טרנזיטיבית.

3 2. (24 נקודות)שאלה זו עוסקת בתחשיב הפסוקים. נגדיר מערכת הוכחה חדשה בתחשיב הפסוקים: בהנתן קבוצת פסוקים Σ,קבוצת הפסוקים היכיחים מ Σ היא הקבוצה האינדוקטיבית המוגדרת ע י: בסיס: אקסיומותמטיפוסA3,A2,A1 כמובמערכתהרגילה. הנחותמתוךΣ. כללי היסק: R(α β,α β) = α.q(p i ) = p i+1 נסמןפסוקα היכיחמ Σ במערכתהחדשהע י: Σ N α הוכיחו/הפריכו: (א) (8 נקודות)המערכת החדשה נאותה במובן הצר. (ב) (8 נקודות)המערכת החדשה נאותה במובן הרחב. (ג) (8 נקודות)המערכת החדשה שלמה.

4 3. (28 נקודות)שאלה זו עוסקת בתחשיב הפסוקים. נאמרשקבוצתפסוקיםΣ אנטי מגדירהקבוצתהשמות K אםלכלהשמהv, v K אםורקאםv לא מספקתאתΣ. נאמרשקבוצתהשמות K היאאנטיגדירהאםקיימתקבוצתפסוקיםאשראנטי מגדירהאותה. הוכיחו/הפריכו את הטענות הבאות: (א) (7 נקודות)אם K אנטיגדירהאז K גדירה. (ב) (7 נקודות)אם K אנטיגדירהאז K לאגדירה. (ג) 7) נקודות)אם K 1 אנטיגדירהו K 2 אנטיגדירהאז K 1 K 2 אנטיגדירה. (ד) 7) נקודות)אם K 1 אנטיגדירהו K 2 אנטיגדירהאז K 1 K 2 אנטיגדירה.

5 4. (24 נקודות)שאלה זו עוסקת בתחשיב היחסים. נתוןמילון< τ =< R,c 1,c 2 כאשרR סימןיחסדו מקומי, c 1,c 2 סימניקבועים. לגביכלאחדמהפסוקיםהבאים,הוכחאוהפרךהאםהואאמתלוגית: (א) 8) נקודות)((( ϕ 1 = x y(( (x y)) R(x,y)) z(( (z c 1 )) ( (z c 2 (ב) 8) נקודות)( ϕ 2 = x yr(x,y) zr(z,c 1 (ג) 8) נקודות)(( ϕ 3 = x(r(x,c 1 ) R(x,c 2 )) (R(c 1,c 2 ) R(c 2,c 1

6 לוגיקה ותורת הקבוצות ( ) דפי עזר למבחן תורת הקבוצות: סימונים: N קבוצתהמספריםהטבעיים(כולל 0 ). Z קבוצתהמספריםהשלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצתהמספריםהממשיים. מכפלהקרטזית: בהנתןשתיקבוצות.A B = { a,b a A,B B},A,B קבוצתחזקה: בהנתןקבוצהA},A. (A) = {B B הגדרות שונות: בהנתןיחס R,היחסההפכיA A B R 1 B מוגדרעלידי{ R.R 1 = { b,a a,b בהנתן שני יחסים, R 1 A B ו C,R 2 B הרכבתהיחסים R 1 R 2 A C מוגדרת על ידי {קיים b B כךש a,b R 1 וגם.R 1 R 2 = { a,c b,c R 2 בהנתןיחס R,נגדירR A 2 R 1 = ו R R i = R i 1 תכונות יחסים דו מקומיים: תהי A קבוצה. יחס R A 2 הוארפלקסיביאם םלכלA a מתקייםR. a,a יחס R A 2 הואסימטריאם םלכלA a,b מתקיים: אםR a,b אזR. b,a יחס R A 2 הואאנטי סימטריאם םלכלA a,b כךש b a מתקיים: אםR a,b אזיR. b,a הגדרהשקולה: אםR a,b וגםR b,a אזb.a = יחס R A 2 הואטרנזיטיביאם םלכלA a,b,c מתקיים: אםR a,b וגםR b,c אזR. a,c סגור טרנזיטיבי: הסגורהטרנזיטיבישליחס R A 2 הואהיחסהטרנזיטיביהמינימלי R כךש R.R משפט:.R = i 1 Ri יחס שקילות: יחס E A 2 הואיחסשקילותאם םהוארפלקסיבי,טרנזיטיביוסימטרי. מחלקתהשקילותשלאיברA a היאהקבוצה: E}.[a] = {b A a,b קבוצתהמנהשליחסהשקילות E,היאקבוצתמחלקותהשקילותשלו,כלומר: A/E = {[a] a A}

7 יחס שקילות וחלוקה: תהיA קבוצהכלשהי. קבוצה P שלקבוצותנקראתחלוקהשלA אםמתקיימיםהתנאיםהבאים: P = A.1.2 לכל B,מתקיים C,B,C P = C.B. P.3 בהנתןחלוקה P שלקבוצהA נגדיראתהיחסהדו מקומי E P מעלA כדלקמן: } קיימת B P כךש E P = { x,y A 2 x,y B משפט:.1 אםR הואיחסשקילותעלA,אזA/R היאחלוקהשלA,ו R.E A/R =.2 אם P היאחלוקהשלA,אז E P הואיחסשקילותעלA,ו P.A/E P = פונקציות: יחס f A B נקראפונקציהאם םלכלA a קיים b B יחידכךש f. a,b במקרהזהנסמןאתהפונקציה f : A B וכןb f(a) = עבור. a,b F פונקציה f היאחד חד ערכית(חח ע, 1 1 )אם םלכל a 1 a 2 מתקיים(.f(a 1 ) f(a 2 פונקציה f : A B היאעלאםלכל b B קייםA a כךש b.f(a) = הוכחה באינדוקציה: בהנתן קבוצה ( עולם ) W, תהי I(A, (P W קבוצה המוגדרת באינדוקציה, באמצעות קבוצת בסיס A W וקבוצת פעולות P. תהי Y W קבוצה כלשהי. כדי להוכיח כי I(A,P) Y מספיק להוכיח: בסיס: A Y סגור: Y סגורהתחתהפעולותב P,כלומרלכלפעולהn מקומית f ב P מתקיים: אם a 1,a 2...a n Y אז.f(a 1,a 2...a n ) Y חשבון עוצמות: נאמרשקבוצות A,B הןשוותעוצמה,ונסמן A,אםקיימת B f : A B חד חד ערכיתועל. נאמר שקבוצה A קטנה או שווה בעוצמתה לקבוצה B, ונסמן A, B אם קיימת f : A B חד חד ערכית. קבוצהA נקראתסופיתאםקייםN n כךש { 1 {0,1,...,n.A קבוצהA נקראתאינסופיתאםA.N קבוצהA נקראתבת מניהאםN.A תכונות שהוכחנו: איחודבןמניהשלקבוצותבנותמניההואקבוצהבתמניה. משפטקנטור: לכלקבוצהA מתקיים( A ) A. משפטקנטור ברנשטיין: בהנתן 2 קבוצותA ו B : אם A B וגםA B,אזי.A B.R (N) לכלקבוצה. (B) 2 B,B

8 תחשיב הפסוקים: מושגי יסוד סמנטיים: פסוקα נקראטאוטולוגיה(ומסומןα = )אםלכלהשמה v מתקיים.v(α) = T פסוקα נקראסתירהאםלכלהשמה v מתקיים.v(α) = F פסוקα נקראספיקאםקיימתהשמה v כךשמתקיים.v(α) = T עבורפסוקים α,β,נאמרש α גוררלוגיתאת β (או β נובעלוגיתמ α )ונסמן α,אםלכלהשמה = β.v(β) = T אז v(α) = T מתקיים: אם v עבורפסוקים α,β,נאמרש α ו β שקוליםלוגיתאםלכלהשמה v מתקיים( v(β.v(α) = עבורקבוצתפסוקיםΣ והשמה z,נאמרש z מספקתאתΣ,אםלכלΣ α מתקיים.z(α) = T קבוצתפסוקיםΣ תקראספיקה,אםקיימתהשמה z המספקתאותה. עבורקבוצתפסוקיםΣ ופסוקα,נאמרש Σ גוררתלוגיתאתα (או: α נובע לוגיתמ Σ )ונסמן: Σ, = α אםלכלהשמה v המספקתאתΣ,מתקיים.v(α) = T לכל פסוק,α ולכל שתי השמות v ו,v אם לכל אטום p i המופיע ב α מתקיים ) i,v(p i ) = v (p אז.v(α) = v (α) מערכתהוכחהלתחשיבהפסוקים: נשתמשבאקסיומותהבאות,לכל {, } WFF :ϕ,ψ,θ (ϕ (ψ ϕ)) :A1 ((ϕ (ψ θ)) ((ϕ ψ) (ϕ θ))) :A2 ((ϕ ψ) ( ψ ϕ)) :A3 בהנתן {, } WFF Σ. נגדירבאינדוקציהאתקבוצתהפסוקיםהיכיחיםמ Σ כ ( I(A,P,כאשר: בסיס: ϕ A אם.1 Σ ϕ,או אוA3. היאאקסיומהמסוגA2,A1 ϕ 2. סגור: } {MP P,כאשר = MP(ψ,ψ ϕ) = ϕ.1 משפטההיסק(דדוקציה): לכל קבוצת פסוקים Σ, ולכל שני פסוקים,α,β מתקיים: (β Σ α) אם ם.Σ {α} β משפטהנאותות(במובןהרחב): לכלקבוצתפסוקיםΣ ולכלפסוקα מתקיים: אםα Σ אזα Σ. = משפטהנאותות(במובןהצר): לכלפסוקα מתקיים: אםα אזα =. משפטהשלמות: לכלקבוצתפסוקיםΣ ולכלפסוקα מתקיים: אםα Σ = אזα Σ. עקביות:.Σ Σ,וגםα כךש α עקביתאם םלאקייםפסוקα Σ.Σ כךש α עקביתאם םקייםפסוקα Σ Σ עקביתאם םΣ ספיקה.

9 עקביות מקסימלית: קבוצתפסוקיםΣ היאעקביתמקסימליתאםΣ עקביתולכלפסוקα מתקיים: Σ α אוα.Σ קבוצתפסוקיםΣ היאעקביתמקסימליתאם םישל Σ השמהמספקתאחתבדיוק. משפטהקומפקטיות: קבוצתפסוקיםΣ היאספיקהאם םכלתתקבוצהסופיתשלהספיקה. גדירות בתחשיב הפסוקים: עבורקבוצתפסוקיםΣ נסמן{ v מספקתאתΣ v השמה} =.M(Σ) נאמרשקבוצתפסוקיםΣ מגדירהקבוצתהשמות K אםמתקיים( M(Σ.K = קבוצת השמות K תקרא גדירה אם קיימת קבוצת פסוקים Σ שמגדירה אותה, כלומר, Σ שמקיימת.M(Σ) = K

10 תחשיב היחסים: אוסףשמותהעצםמעלמילון τ נתון:.1 משתנים(... (v 0,v 1,v 2.2 סימניקבועיםמהמילון(... (c 0,c 1,c 2 בסיס: פעולות סגור: הפעלת סימני פונקציות מהמילון: עבור t 1 t, 2 t, 3 t,..., n שמות עצם מעל τ, ו F n,α סימן פונקציה מ τ, גםהביטוי( F n,α (t 1,t 2,t 3,...,t n הואשם עצםמעל.τ אוסף הנוסחאות מעל τ: בסיס: נוסחאות אטומיות: עבור t 1 t,..., n שמות עצם מעל τ ו R n,α סימן יחס מ τ (או סימן השיוויון ), הביטוי( R n,α (t 1,...,t n הואנוסחאאטומיתמעל.τ פעולות סגור: 1. הפעלתקשריםלוגייםעלנוסחאות: עבור ϕ,ψ נוסחאותמעל τ,גםהביטויים.τ הםנוסחאותמעל ϕ ψ,ϕ ψ,ϕ ψ, ϕ.2 הפעלתכמתיםעלנוסחאות: עבורϕ נוסחאמעל τ ו v i משתנהכלשהו,גםהביטוייםϕ v i ו ϕ v i הםנוסחאותמעל τ. הגדרה: נוסחאϕ תקראפסוקאםאיןב ϕ משתניםחופשיים.,τ = R n1,α 1 מבנה M מעל τ הוא מהצורה,...,R nm,α m,f n1,α 1,...,F nk,α k מבנה: בהינתן מילון p,c 1,...,c M = D M,Rn M 1,α 1 כאשר:,...,Rn M m,α m,fn M 1,α 1,...,Fn M k,α k,c M 1,...,c M p,m היאהעולםשל D M,D M מקומימעל n i הואיחס Rn M i,α i לכלm i,1.d M ל (D M ) ni היאפונקציהמ Fn M i,α j לכל i k,1 לכלp i 1,מתקיים.c i D M { } (a,a) a D M סימןהשיוויון מתפרשכיחסהזהות: מושגי יסוד סמנטיים: עבור קבוצת נוסחאות Σ, מבנה M והשמה z, נאמר ש Σ מסתפקת במבנה M תחת השמה z, ונסמן.M = z ϕ מתקיים: ϕ M,אםלכלΣ = z Σ נוסחאϕ תקראטאוטולוגיה(תקפהלוגית,אמתלוגית)אםלכלמבנה M ולכלהשמהz מתקיים M = z.ϕ נוסחאϕ תקראספיקהאםקייםמבנה M וקיימתהשמה z כךשמתקייםϕ.M = z קבוצתנוסחאותΣ נקראתספיקהאםקיימיםמבנה M והשמה z כךשמתקייםΣ.M = z עבור קבוצת נוסחאות Σ ונוסחא ϕ, נאמר ש Σ גוררת לוגית את ϕ, ונסמן: Σ, = ϕ אם לכל מבנה M ולכלהשמה z מתקיים: אםΣ M = z אזϕ.M = z

11 מעבר בין כמתים: v i ϕ v i ϕ v i ϕ v i ϕ משפטהקומפקטיות: קבוצתנוסחאותΣ היאספיקהאם םכלתתקבוצהסופיתשלΣ היאספיקה. גדירות של אוסף מבנים בתחשיב היחסים: בהנתןמילון τ נסמןב ( S(τ אתאוסףהמבניםמעל τ. עבורקבוצתפסוקים(שלתחשיבהיחסים) Σ נסמןב { Σ.M(Σ) = {M S(τ) M = קבוצתפסוקיםΣ (מעל τ )מגדירהאוסףמבנים K (מעל τ )אםמתקיים( M(Σ K. = קבוצתמבנים K תקראגדירהאםקיימתקבוצתפסוקיםΣ שמגדירהאותה. גדירותשליחסיםבתוךמבנה: יהי M מבנה עם עולם D. M עבור יחס P D) M ) n נאמר ש P יחסגדירבמבנה M אםקיימתנוסחאϕ עםמשתניםחופשיים v 1,...,v n כךשלכלהשמה z מתקיים:.(z(v 1 ),...,z(v n )) P אם ם M = z ϕ במקרהזהנאמרכיϕ מגדירהאת P במבנה M.

Σχετικά έγγραφα

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר

לוגיקה ותורת הקבוצות מבחן סופי אביב תשע"ב (2012) דפי עזר תורת הקבוצות: סימונים.N + = N \ {0} קבוצת המספרים הטבעיים; N Z קבוצת המספרים השלמים. Q קבוצת המספרים הרציונליים. R קבוצת המספרים הממשיים. הרכבת